Формула периода малых колебаний физического маятника

Формула периода малых колебаний физического маятника

mg
φ
o
c
O’
Рисунок 3 3. Приведенная длина

Физическим маятником называется любое тело, которое под действием силы тяжести может свободно качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, называемой осью качаний. Точка пересечения оси качаний с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника (т. О на рис. 3). Очевидно, в положении равновесия центр масс маятника (т. С) находится на вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса (φ = 0).

Движение маятника описывается основным уравнением динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси:

,

где J – момент инерции маятника относительно оси вращения, φ – угол отклонения маятника от положения равновесия, М – суммарный момент внешних сил, действующих на маятник относительно оси вращения.

В экспериментальных установках обычно моменты силы трения в оси и силы сопротивления воздуха пренебрежимо малы. Поэтому Мс = – mgd sinφ, где

d = │ОС│ – расстояние от оси качания до центра масс, m – масса маятника,
g – ускорение свободного падения, а знак " – " указывает на то, что момент силы тяжести стремится возвратить маятник в положение равновесия. Таким образом, уравнение движения маятника имеет вид:

(П-1)

В случае малых отклонений маятника от положения равновесия (т.е. φ

(П-8)

Из (П-7) имеем:

Тогда

Таким образом, период колебаний физического маятника не изменяется при перемещении оси качаний в центр качаний.

Цель работы. Определение момента инерции физического маятника двумя методами, измеряя: 1) период его малых колебаний; 2) его приведённую длину.

Введение

Физическим маятником называется любое твёрдое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции тела. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, т.е. такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведённой длиной физического маятника.

Читайте также:  Рощино ленинградская область фото

Выведем формулу периода колебаний физического маятника. На рис. 1 точка О – след горизонтальной оси вращения, точка В – центр тяжести. Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции и центр тяжести совпадают.

Тело совершает колебания под действием вращающего момента:

(1)

где — расстояние от оси вращения до центра тяжести тела, равное ОВ.

Из рисунка 1 следует, что

Здесь φ – угловое перемещение тела, отсчитываемое от положения равновесия. При малых значениях φ угловое перемещение можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого определяется направлением поворота тела из положения равновесия в заданное направление правилом правого винта. Учитывая, что векторы и антипараллельны, следует величинам проекций М и φ на ось вращения приписать противоположные знаки.

Тогда формула (1) примет вид

(1а)

При малых углах φ можно ограничиться первым членом разложения функции sinφ в ряд

и принять, если φ выражено в радианах. Тогда формулу (1а) можно записать следующим образом:

(2)

Используем основной закон динамики вращательного движения, записав его в проекциях на ось вращения:

(3)

где — момент инерции тела относительно оси вращения;

— угловое ускорение, причём .

Подставляя в формулу (3) момент силы из формулы (2), получим

(4)

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентами, как известно, имеет решение

содержащее две произвольные постоянные φ и α, определяемые начальными условиями. Величины φ и α называют соответственно амплитудой и начальной фазой колебаний. Заметим при этом, что циклическая частота ω, как и период колебаний Тф, определяется динамическими свойствами системы и равны, соответственно,

и (6)

в чём можно убедиться, подставив решение φ(t) в виде формулы (5) в уравнение (4).

Читайте также:  Как хранить тандыр зимой

Известно, что период колебаний математического маятника равен

откуда следует, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина его равна

(7)

Это и есть формула приведённой длины физического маятника.

Физическим маятником называется твердое тело, находящееся в поле силы тяжести и имеющее горизонтальную ось вращения, не проходящую через центр тяжести тела.

Пусть — масса тела, J — его момент инерции относительно оси вращения — расстояние от центра тяжести до оси вращения (рис. 36). Выведенное из положения равновесия, тело будет вращаться либо совершать колебательное движение. В обоих случаях дифференциальное уравнение движения имеет один и тот же вид (силами трения пренебрегаем):

Пусть начальные условия таковы, что угол все время остается малым (максимальное отклонение от вертикали не превышает ). Тогда можно приближенно принять (в радианах) и рассматривать более простое уравнение:

или, что то же, уравнение

Это уравнение называется дифференциальным уравнением малых колебаний физического маятника. Из него следует, что малые колебания физического маятника являются гармоническими колебаниями частоты

Амплитуда и фаза колебаний будут определяться начальным отклонением и начальной угловой скоростью физического маятника.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется моментом количества движения материальной точки?

2. Что называется кинетическим моментом механической системы относительно данного центра, данной оси?

3. Приведите общие формулы для определения кинетического момента механической системы (относительно данного центра, данной оси).

4. Приведите математическую запись теоремы об изменении кинетического момента. Дайте словесную формулировку теоремы.

5. В каких случаях кинетический момент системы или его проекция на ось остаются постоянными при движении системы?

6. Какие координатные оси называются осями Кенига?

7. Приведите общую формулу для определения кинетического момента твердого тела относительно данного неподвижного центра?

Читайте также:  Как топить брикетами ruf

8. Как вычисляется кинетический момент тела при его поступательном и вращательном движениях?

9. Как составляются дифференциальные уравнения движения тела при его поступательном движении? При вращении вокруг неподвижной оси? При плоскопараллельном движении?

10. Что называется физическим маятником? Как определяется период его малых колебаний?

Упражнения

1. Материальная точка М массы движется по окружности радиуса R согласно уравнению (рис. 37). Вычислить и построить количество движения и момент количества движения точки при .

2. Сплошной однородный диск массы и радиуса R вращается вокруг своей оси согласно уравнению . Найти кинетический момент диска относительно оси вращения.

3. Решить в указанном порядке следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 28.4; 37.1; 37.56; 37.43; 37.5; 37.6; 37.16.

Ссылка на основную публикацию
Флоксы уход осенью после цветения
Многолетние флоксы — любимые цветы многих огородников, они радуют глаз в течение долгого времени, издают приятный аромат. Но приходит осень,...
Фен строительный с регулировкой температуры и скорости
Применение строительного (технического) фена в строительстве и на производстве не оставляет сомнений в том, что без этого полезного инструмента многие...
Фермы из квадратных труб серия
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР ФЕРМЫ СТАЛЬНЫЕ СТРОПИЛЬНЫЕ ИЗ ГНУТОСВАРНЫХ ПРОФИЛЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОМИТЕТ СССР ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР...
Флорариум своими руками из дисков
Вот бывало у вас так, что растишь растение, обхаживаешь, дышать на него боишься, а он все же не радует цветением...
Adblock detector